Next seminar: 04 December 2025 at 14:00 (Moscow time = UTC+3:00) Prof. A.M. Kamchatnov, Institute of Spectroscopy Russian Academy of Sciences, Moscow

Title:  Asymptotic integrability of nonlinear wave equations

  

 Тема: Асимптотическая интегрируемость нелинейных волновых уравнений

Speaker:  Prof. A.M. Kamchatnov/ Institute of Spectroscopy Russian Academy of Sciences, Moscow

Докладчик:  дф-мн А.М. Камчатнов/ Институт спектроскопии РАН, Москва

       

Date and time: 04 December 2025 at 14:00 (Moscow time = UTC+3:00)

Дата и время:  04 декабря 2025  в 14:00 (время московское )

Seminar website  https://mmandim.blogspot.com/

YouTube channel  https://www.youtube.com/channel/UCKNILUukokTeNeAXAetHthQ

To Join Zoom Meeting:

https://us05web.zoom.us/j/2084211239?pwd=56aEqoPgcl0aaorrAaamKckOojSGYg.1

Meeting ID: 208 421 1239

Password: SeminarMM

Annotation

            The notion of asymptotic integrability is based on the asymptotic theory of propagation of high-frequency wave packets along large-scale and time-dependent backgrounds. We assume that the evolution of the background obeys the dispersionless (hydrodynamic) limit of the nonlinear wave equation under consideration and demand that the Hamilton equations for the packet's propagation have an additional integral of motion independently of the initial conditions for the background dynamics. This condition is studied for systems described by one or two wave variables, and it is shown that it imposes strong restrictions on the dispersion relation for linear harmonic waves in the case of two wave variables. Existence of the integral of Hamilton’s equations leads to important consequences: (1) it allows one to calculate the number of solitons produced from an intensive initial pulse; (2) this formula can be generalized in a natural way to the Bohr-Sommerfeld quantization rule for parameters of solitons produced from such a pulse; (3) if the condition of asymptotic integrability is only fulfilled approximately, then the Bohr-Sommerfeld rule provides the solitons’ parameters with good accuracy even for not completely integrable equations; (4) if it is fulfilled exactly, then the appearing in the theory integral can be identified with the quasiclassical limit of one of the equations of the Lax pair for the corresponding completely integrable equation with the same dispersion relation and equations of the dispersionless limit, moreover, the second equation of the Lax pair is related to the phase velocity of linear waves; (5) “quantization” of the quasiclassical limit allows one to restore the full expressions for the Lax pair equations; (6) analytical continuation of the integral into the complex plane of wave numbers yields the expression for the soliton’s inverse half-width as a function of the background wave variables; (7) existence of such an integral for soliton motion leads to formulation of Hamiltonian dynamics of solitons moving along not-uniform and time-dependent background. The theory is illustrated by examples, and it is confirmed by comparison with numerical simulations.

Аннотация

 Понятие асимптотической интегрируемости основано на асимптотической теории распространения высокочастотных волновых пакетов по крупномасштабному и изменяющемуся со временем фону. Мы предполагаем, что эволюция фона подчиняется уравнениям бездисперсионного (гидродинамического) предела исходных нелинейных волновых уравнений, и требуем, чтобы уравнения Гамильтона для распространения пакета обладали интегралом независимо от начальных условий для динамики фона. Это условие изучается для систем, описываемых одной или двумя волновыми переменными, и показывается, что в случае двух переменных оно накладывает сильные ограничения на вид закона дисперсии для линейных гармонических волн. Наличие интеграла уравнений Гамильтона приводит к важным следствиям: (1) оно позволяет вычислить число солитонов, образующихся из интенсивного начального импульса; (2) формула для числа солитонов естественным образом обобщается в обобщённое правило Бора-Зоммерфельда для параметров солитонов, образующихся из такого импульса; (3) если условие асимптотической интегрируемости выполняется только приближенно в пределе больших волновых чисел, то правило Бора-Зоммерфельда предсказывает параметры солитонов с хорошей точностью даже для неинтегрируемых уравнений; (4) если же оно выполняется точно, то возникающий в теории интеграл отождествляется с квазиклассическим пределом одного из уравнений пары Лакса для соответствующего полностью интегрируемого уравнения с таким же законом дисперсии линейных волн и такими же уравнениями бездисперсионного предела, причём второе уравнение пары Лакса выражается через фазовую скорость линейных волн; (5) «квантование» найденного таким образом квазиклассического предела позволяет восстановить полные выражения для пары Лакса; (6) аналитическое продолжение интеграла в комплексную плоскость волновых чисел даёт выражение для обратной полуширины солитона в зависимости от волновых переменных фона; (7) наличие такого интеграла для солитонов приводит к гамильтоновой динамике солитонов, движущихся по неоднородному и изменяющемуся со временем фону. Теория иллюстрируется примерами и её справедливость подтверждается численными расчетами.