Archive
21 March 2024
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
14.03.2024
prof. Oleg Kaptsov, Krasnoyarsk
Title: Intermediate systems and invariants
--------------------------------------------------------------------------
Уравнение Власова-Эйнштейна и точки Лагранжа
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
18 January 2024 at 14:00 (Moscow time = UTC+3:00)
Title: "Symmetries and conservation laws for differential equations, difference equations and second-order delay ODEs"
Speakers: Vladimir Dorodnitsyn, based on joint works with Roman Kozlov, Pavel Winternitz, Sergey Meleshko and Evgenii Kaptsov.
Докладчики: дф-мн В. А. Дородницын, ИПМ РАН, Москва
28 December 2023 at 14:00 (Moscow time = UTC+3:00)
Speakers: V.L.Mironov, S.V.Mironov Institute for physics of microstructures RAS, Nizhny Novgorod
Докладчики: В.Л.Миронов, С.В.Миронов Институт физики микроструктур РАН, Нижний Новгород
----------------------------------------------------------------
14 December 2023 15:30 (Moscow time = UTC+3:00)
Ranis Ibragimov (USA) Invariant Solutions of Nonlinear Mathematical Modeling of Natural Phenomena
--------------------------------------------------------------------------------
16 November 2023
Тема: Приближенное решение модели дальнего безымпульсного турбулентного следа.
Speaker: A.V. Shmidt (Institute of computational modelling SB RAS, Krasnoyarsk, Russia)
Докладчик: А.В. Шмидт (Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск)
Annotation.
The flow in the far momentumless turbulent wake is described with the use of a mathematical model based on the Rodi’s algebraic model of Reynolds stresses. Similarity reduction of the model to a system of ordinary differential equations is obtained. Asymptotic expansion of a solution in the vicinity of a singular point is used to construct approximate solution of the corresponding boundary value problem.
Аннотация.
Для описания течения в дальнем безымпульсном турбулентном следе привлекается модель, основанная на алгебраической модели Роди рейнольдсовых напряжений. Получена автомодельная редукция уравнений модели к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для построения приближенного решения соответствующей краевой задачи используется асимптотическое разложение решения в окрестности особой точки.
---------------------------------------------------------------------
2 November 2023
Title: Sedeonic generalization of hydrodynamic equations. Vortex models of plane turbulent walls-bounded flows.
Тема: Седеонное обобщение уравнений гидродинамики. Вихревые модели плоских турбулентных течений, ограниченных стенками.
Speakers: prof V.L.Mironov, S.V.Mironov (Institute for physics of microstructures RAS, Nizhny Novgorod, Russia)
Докладчики: дф-мн В.Л.Миронов, С.В.Миронов (Институт физики микроструктур РАН, Нижний Новгород)
Annotation.
We discuss a generalization of hydrodynamic equations based on the anticommutative spacetime
algebra of 16-component sedeons. A symmetric system of Maxwell-type equations is
obtained, which describes the longitudinal motion and rotation of vortex tubes. Based on these
equations, a simple model of a plane, fully developed turbulent flow is proposed. As examples,
we consider turbulent near-wall flows, as well as Couette and Poiseuille flows in rectangular
channels.
1. V.L. Mironov, S.V. Mironov, Sedeonic equations in field theory, Advances in Applied
Clifford Algebras, 30, 44 1-26 (2020).
2. V.L. Mironov, S.V. Mironov, Generalized sedeonic equations of hydrodynamics, European
Physical Journal Plus, 135(9), 708 (2020).
3. V.L. Mironov, S.V. Mironov, Vortex model of plane Couette flow, Fluids, 8(6), 165 (2023).
YouTube канал
https://youtube.com/@victormironov9895?si=9KjeInjH6RZk5ad9
Аннотация.
В докладе обсуждается обобщение уравнений гидродинамики на основе
антикоммутативной пространственно-временной алгебры 16-компонентных седеонов.
Получена симметричная система уравнений максвелловского типа, которая описывает
продольное движение и вращение вихревых трубок. На основе данных уравнений
предлагается простая модель плоского полностью развитого турбулентного течения. В
качестве примеров рассматриваются турбулентные пристеночные течения, а также
течения Куэтта и Пуазейля в прямоугольных каналах
---------------------------------------------------------------------------
Групповой анализ одномерного кинетического уравнения и проблема замыкания моментной системы
-------------------------------------------------------------------------------------
05 October 2023
prof Oleg Kaptsov (ICM SB , Krasnoyark, Russia)
SOLUTIONS OF SOME WAVE MODELS OF MECHANICS
Annotation
The paper deals with one-dimensional nonstationary second order partial derivative equationsdescribing waves in inhomogeneous and nonlinear media. Contact transformations and differential Euler substitutions are used to construct solutions. General solutions of some nonstationary models of continuum mechanicsare found.
Аннотация:
В докладе рассматриваются одномерные нестационарные уравнения с частными производными второго порядка, описывающие волны в неоднородных и нелинейных средах.
Для построения решений используются контактные преобразования и дифференциальные подстановки Эйлера. Найдены общие решения некоторых нестационарных моделей механики сплошной среды.
-----------------------------------------------------------
21 September 2023 кф-мн К. Дружков (Ереван)
Внутренние лагранжианы как вариационные принципы.
Аннотация:
Классический принцип стационарного действия связан с лагранжианами, определёнными на пространствах джетов. Соответствующие уравнения движения представляют собой поверхности в таких пространствах. Оказывается, что в дополнение к этому принцип стационарного действия всегда воспроизводит себя на уровне внутренней геометрии соответствующего вариационного уравнения. При этом возникает "внутренний интегральный функционал", определённый на классе особых подмногообразий уравнения. Эти подмногообразия имеют размерность как у решений и склеены из начально-краевых условий, продолженных на старшие производные; в этом смысле они представляют собой "почти решения".
Все решения вариационных уравнений заведомо являются стационарными точками внутренних интегральных функционалов в соответствующих классах почти решений. В зависимости от ситуации стационарными точками таких функционалов могут быть не только решения. Однако если почти решение уравнений Эйлера-Лагранжа склеено из нехарактеристических начально-краевых условий, оно является стационарной точкой соответствующего внутреннего функционала тогда и только тогда, когда оно является решением.
В этой связи удаётся также сформулировать соответствующую версию теоремы Нётер, согласно которой всякая симметрия вариационных уравнений либо определяет законы сохранения, либо порождает внутренние интегральные функционалы.
Предлагаемая конструкция служит ответом на вопрос о том, почему внутренняя геометрия вариационных уравнений знает об их вариационной природе: функционал действие всегда воспроизводит себя внутри соответствующих уравнений с помощью порождаемого им внутреннего функционала.
--------------------------------------------------------------------------------------
25.05.2023
Докладчик: phd E. I. Kaptsov (with V. A. Dorodnitsyn, S. V. Meleshko)
Methods for constructing invariant conservative finite-difference schemes for hydrodynamic-type equations
When choosing suitable finite-difference schemes for equations of hydrodynamic type, preference is given to various properties of schemes, such as their monotonicity, stability, conservation of phase volumes, etc. In the present report, we focus on the criterion of invariance of schemes, i.e. we consider finite-difference equations and meshes that preserve the symmetries of the original differential equations.
For equations of the hydrodynamic type, the construction of invariant difference schemes is often significantly simplified if the equations are considered in Lagrange coordinates. In this case, uniform orthogonal meshes can be used, which retain their geometric structure under the action of group transformations inherited from the original equations. In addition, in Lagrangian coordinates, it is easier to find conservation laws both for differential equations and for the corresponding invariant difference schemes. In a number of cases, it is possible to construct invariant conservative schemes that possess difference analogues of all local conservation laws of the original models.
The report is primarily devoted to the practical aspects of designing schemes of the described type. For this, a number of special techniques and methods have been developed. The most convenient is the finite-difference analogue of the direct method, as well as the technique of constructing schemes based on approximations of conservation laws.
Various equations of the theory of shallow water and one-dimensional equations of magnetohydrodynamics are considered as examples.
References
1. Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I., Discrete shallow water equations preserving symmetries and conservation laws. J. Math. Phys., 62(8):083508, 2021.
2. Kaptsov E. I., Dorodnitsyn V. A., Meleshko S. V., Conservative invariant finite-difference schemes for the modified shallow water equations in Lagrangian coordinates. Stud. Appl. Math., 2022; 149: 729–761.
3. Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I., and Meleshko S. V., Symmetries, conservation laws, invariant solutions and difference schemes of the one-dimensional Green–Naghdi equations. J. Nonlinear Math. Phys., 28:90–107, 2020.
4. Cheviakov A. F., Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I., Invariant conservation law-preserving discretizations of linear and nonlinear wave equations, J. Math. Phys., 61 (2020) P. 081504.
5. Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I., Invariant finite-difference schemes for plane one-dimensional MHD flows that preserve conservation laws. Mathematics, 10(8):1250, 2022.
6. Kaptsov E. I., Dorodnitsyn V. A., Invariant conservative finite-difference schemes for the one-dimensional shallow water magnetohydrodynamics equations in Lagrangian coordinates. Submitted. Preprint: https://arxiv.org/abs/2304.03488
7. Kaptsov E. I., Dorodnitsyn V. A., Meleshko S. V., Invariant finite-difference schemes for cylindrical one-dimensional MHD flows with conservation laws preservation. Submitted.
Preprint: http://dx.doi.org/10.48550/arXiv.2302.05280
---------------------------------------------------------------------------
11.05.2023
Докладчик: дф-мн Сулейманов Б.И. (Ин-тМатематики с ВЦ УИЦ РАН, Уфа)
Мероморфность решений широкого класса обыкновенных дифференциальных уравнений типа Пенлеве.
Аннотация
Доклад основан на двух совместных с А.В. Домриным и М.А. Шумкиным публикациях:
Домрин А. В., Сулейманов Б.И., Шумкин М. А. О глобальной мероморфности решений уравнений Пенлеве и их иерархий”,
Анализ и математическая физика, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения профессора Армена Глебовича Сергеева,
Тр. МИАН, 311, МИАН, М., 2020, 106–122 (A. V. Domrin, , B. I. Suleimanov , and M. A. Shumkin
Global Meromorphy of Solutions of the Painlev\'e Equations and Their Hierarchies
ISSN 0081-5438, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2020, Vol. 311, Issue 1, pp. 98–113)
V. Domrin, M. A. Shumkin and B. I. Suleimanov. Meromorphy of solutions for a wide class of ordinary differential equations
of Painlev\'e type. Journal of Mathematical Physics. Vol.: 63. Issue:2 (2022).
Issue:2022-02-28 .JMP21-AR-01692.
Отталкиваясь от на результатов А. В. Домрина о локальной по времени мероморфной продолжимости из области аналитчности решений солитонных уравнений параболического типа , в докладе будет доказана мероморфность решений начальных задач для широкого класса обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти обыкновенные дифференциальные уравнения задаются инвариантными многообразиями нелинейных уравнений в частных производных параболического типа, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния. В качестве примеров рассмотрены случаи некоторых из уравнений Пенлеве и их иерархий.
---------------------------------------------------------------------------------
27 April 2023
On elliptic cylindrical Kadomtsev-Petviashvili equation for surface waves
Karima Khusnutdinova. Department of Mathematical Sciences, Loughborough University, UK
ABSTRACT
There exist two classical versions of the Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation [1], related to the Cartesian and cylindrical geometries of the waves (derivations for surface waves were given in [2] and [3], respectively). We derived and studied a version related to the elliptic-cylindrical geometry in [4] (joint work with Klein, Matveev and Smirnov). The derivation was given from the full set of Euler equations for surface gravity waves with the account of surface tension. The ecKP equation contains a parameter, and it reduces to the cKP equation both when this parameter tends to zero, and when the solutions are considered at distances much larger than that parameter. We showed that there exist transformations between all three versions of the KP equation associated with the physical problem formulation (KP, cKP and ecKP equations), and used them to obtain new classes of approximate solutions for the Euler equations. The solutions exist on the whole plane (at least formally). We hope that they could be useful in describing an intermediate asymptotics for the problems where sources, boundaries and obstacles have elliptic or nearly-elliptic geometry.
References:
[1] B.P. Kadomtsev, V.I. Petviashvili, On the stability of solitary waves in weakly dispersing media, Sov. Phys. Dokl., 15 (1970) 539-541.
[2] M.J. Ablowitz and H. Segur, On the evolution of packets of water waves, J. Fluid Mech., 92 (1979) 691-715.
[3] R.S. Johnson, Water waves and Korteweg - de Vries equations, J. Fluid Mech., 97 (1980) 701-719.
[4] K.R. Khusnutdinova, C. Klein, V.B. Matveev, A.O. Smirnov, On the integrable elliptic cylindrical Kadomtsev-Petviashvili equation, Chaos 23 (2013) 013126.
------------------------------------------------------
13 April 2023 М.В. Павлов (ФИАН Москва)
"Эллиптические ортогональные системы координат и разделение переменных в операторе Лапласа"
Аннотация
Разделение переменных в системах уравнений в частных
производных - одна из важных и интересных задач.
Прекрасный обзор этой области был предложен
в книге Уиттекера-Ватсона в 1905 году.
В докладе будет предложена интерпретация
известных результатов, которая позволит
лучше понять препятствия и возможности
в теории разделения независимых переменных.
--------------------------------------------------------
30 March 2023
Solitary waves in the cylindrical Kadomtsev–Petviashvili equation
Q. Guo, W. Hu, Y. Stepanyants, Z. Zhang
Guangdong Provincial Key Laboratory of Nanophotonic Functional Materials and Devices, South China Normal University, Guangzhou, 510631, P.R. China;
College of Science, Zhongyuan University of Technology, Zhengzhou Henan Province 450007 P.R. China;
School of Mathematics, Physics and Computing, Faculty of Health, Engineering and Sciences, University of Southern Queensland, 487-535 West St., Toowoomba, QLD, 4350, Australia.
We present exact solutions in the form of solitary waves in the cylindrical Kadomtsev–Petviashvili (cKP) equation (alias Johnson equation) which describes nonlinear wave processes in dispersive media. This equation belongs to the class of completely integrable systems; however, its exact solutions were not studied in detail albeit some particular solutions were found. We show that this equation has relationships with the classical Korteweg–de Vries and plane Kadomtsev–Petviashvili equations. Using these relationships, some new solutions can be formally obtained that represent cylindrically diverging solitary waves and compact solitary waves called lumps. We demonstrate interesting properties of lumps solutions specific for the cylindrical geometry. Exact solutions describing normal and anomalous lump interactions are found and graphically illustrated.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16.03.2023 Академик РАН Кузнецов Е.А. (Москва)
P.N. Lebedev Physical Institute of RAS, Moscow, Russia; L.D. Landau Institute for Theoretical Physics of RAS, Chernogolovka, Moscow region, Russia; Space Research Institute, Moscow, Russia; Skolkovo Institute of Science and Technology, Skolkovo, Russia
Folding in fluids
Annotation
The formation of the coherent vortical structures in the form of thin pancakes for threedimensional flows is studied at the high Reynolds regime when, in the leading order, the development of such structures can be described within the Euler equations for ideal incompressible fluids. Numerically and analytically on the base of the vortex line representation [1, 2] we show that compression of such structures and respectively increase of their amplitudes are possible due to the compressibility of the vorticity ! in the 3D case [3]. It is demonstrated that this growth has an exponential behavior and can be considered as folding (analog of breaking) for the divergence-free fields of vorticity. At high amplitudes this process in 3D has a self-similar behavior connected the maximal vorticity and the pancake width by the relation of the universal type [4]: !max / l−2/3.
[1] E.A. Kuznetsov, V.P. Ruban, Hamiltonian dynamics of vortex lines for systems of the hydrodynamic type, Pis’ma ZhETF , 76, 1015 (1998) [JETP Letters, 67, 1076-1081 (1998)].
[2] E.A. Kuznetsov, Vortex line representation for flows of ideal and viscous fluids , Pis’ma v ZHETF, 76, 406-410 (2002) [JETP Letters, 76, 346-350 (2002)].
[3] D.S. Agafontsev, E.A. Kuznetsov, A.A. Mailybaev, and E.V. Sereshchenko, Compressible vortical structures and their role in the hydrodynamical turbulence onset, UFN 192, 205-225 (2022) [Physics Uspekhi, 65 189 - 208 (2022)].
[4] D.S. Agafontsev, E.A. Kuznetsov and A.A. Mailybaev, Development of high vorticity structures and geometrical properties of the vortex line representation, Phys. Fluids 30, 095104-13 (2018); Stability
of tangential discontinuity for the vortex pancakes, Pisma ZHETF, 114, 67-71 (2021) [JETP Letters, 2021, 114, 71–75 (2021)].
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
02.03.2023 дф-мн. Чурилов С.М. (Иркутск)
WEAKLY–NONLINEAR STAGE OF INSTABILITY DEVELOPMENT IN SHEAR FLOWS WITH AN INFLECTION–FREE VELOCITY PROFILE AND THIN PYCNOCLINE
ЦWeakly stratified flows of the class under study have a wide 3D spectrum of unstable waves with very close growth rates. What is more, their phase velocities differ little and therefore their individual critical layers merge into a common one. On this basis, nonlinear evolution equations describing the perturbation development are derived and analyzed. Their solutions demonstrate that, throughout a weakly nonlinear stage of development, wave amplitudes grow explosively. During the first (three-wave) phase, the most rapidly growing are low-frequency waves whereas at the next phase, when numerous and diverse higher-order wave interactions come into play, the growth of high-frequency waves is accelerated and they overtake low-frequency waves. The results obtained are illustrated by numerical calculations for some ensembles of waves.
СЛАБО–НЕЛИНЕЙНАЯ СТАДИЯ РАЗВИТИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ С ПРОФИЛЕМ СКОРОСТИ БЕЗ ТОЧЕК ПЕРЕГИБА И ТОНКИМ ПИКНОКЛИНОМ
В В слабо стратифицированных течениях рассматриваемого класса наиболее неустойчивые волны занимают существенную трехмерную часть спектра и имеют очень близкие инкременты. Кроме того, их фазовые скорости очень близки, поэтому их индивидуальные критические слои сливаются воедино. Исходя из этого, получены и проанализированы нелинейные эволюционные уравнения, описывающие развитие неустойчивых возмущений. Показано, что на протяжении всей слабо-нелинейной стадии развития амплитуды волн растут взрывным образом, причем на первом (трехволновом) этапе преимущественно усиливается длинноволновая часть спектра, а затем, когда в игру включается множество разнообразных взаимодействий более высокого порядка, коротковолновая часть спектра ее догоняет. Полученные результаты подтверждены численными расчетами эволюции некоторых ансамблей волн.
---------------------------------------=================
09.02.2023 дф-мн. А.В. Боровских (МГУ Москва)
Аннотация.
В докладе будут представлены результаты группового анализа уравнения эйконала — уравнения, описывающего фронт распространяющейся волны. Актуальность такого анализа возникла в связи с исследованием распространения волн в неоднородной и анизотропной среде. В волновой теории обычно предполагается, что эйконал уже известен, а на самом деле для каких сред (кроме канонической однородной) уравнение эйконала можно проинтегрировать — было неизвестно.
Групповая классификация сначала трехмерных, затем двумерных, а в конце концов — анизотропных уравнений показала, что задача групповой классификации оказывается наиболее содержательной и продуктивной только в наиболее общей постановке. Именно тогда обнаруживаются четкие связи с геометрией, физикой и аналитическими свойствами уравнений. Именно поэтому полученная классификация, вместе со всей совокупностью указанных связей, может рассматриваться как образцовая.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
26.01.2023 проф. С.М. Чурилов (Иркутск)
КРИТИЧЕСКИЙ СЛОЙ И СЛАБО-НЕЛИНЕЙНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ НЕУСТОЙЧИВЫХ КВАЗИМОНОХРОМАТИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ В СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ
CRITICAL LAYER AND WEAKLY NONLINEAR EVOLUTION OF UNSTABLE QUASI-MONOCHROMATIC PERTURBATIONS IN SHEAR FLOWS
------------------------------------------------------------------------------------------
22/12/2022 проф. С.П. Царев Метод Монжа
Аннотация
Этот доклад посвящен старой теме поиска решений "в явном виде" (без квадратур) НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, начатой Г. Монжем в 1784 г. и исследовавшейся позже Гурса (1905 г.), Гильбертом (1913 г.) и Картаном (1914 г.).
В последние десятилетия ХХ века эта проблема привлекла внимание специалистов по нелинейному управлению.В частности, техника решения этой задачи использовалась при разработке алгоритмов управления неголономными механическими системами.
Типичным примером такой системы является грузовик с N прицепами.
Парковка такого движущегося назад «автопоезда» — популярная непростая задача!
Современные результаты, основанные на старых исследованиях Гурса, сделали возможным автоматическое управление такими транспортными средствами.
Для интересующихся проблемой интегрирования ОДУ и УрЧП "в явном виде": используя упомянутые выше результаты, часто можно удалить излишние квадратуры в окончательных выражениях для полного решения C-интегрируемых нелинейных УрЧП.
Мы (вынужденно кратко) представим в докладе как классические результаты Монжа, Картана и Гильберта, так и современные аспекты и обсудим интригующие детали проблемы Монжа.
Annotation
This talk is about an old topic of finding closed-form solutions
of UNDERDETERMINED systems of nonlinear ordinary differential
equations, started by G.Monge in 1784 and later
followed by Goursat (1905), Hilbert (1913) and Cartan (1914).
In the last decades of the XX century these problems draw attention
of specialists in nonlinear control. In particular,
the technique of this problem was used in developing
motion algorithms for nonholonomic mechanical systems,
a typical example being a car with N trailers.
Parking such a "car train" moving back is a popular difficult task!
Modern results based on the old investigations of Goursat
make automatic control of such vehicles possible.
-------------------------------------------------------------------------------------------
08.12.2022
проф. А. Д. Юнаковский (Институт прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород )
Методы численного моделирования НУШ
Annotation
The advent of supercomputers made it possible to model multidimensional NLS and revealed new problems: new parallelizable algorithms were required.
For equations of the "parabolic" type, which include the non-stationary Schrödinger equation, numerical schemes have very stringent stability conditions: Δt < Δx^2 , which, in fact, slows down the solution of the problem when the grid is refined. In addition, in equations of the NLSE type, high spatial harmonics do not decay with time, but have rapidly changing phases, which leads even under a "relatively mild" condition of stability to the phenomenon of random phases.
A review of grid and spectral methods for finding approximate solutions of the NSE is given, and the possibilities of using the FFT are analyzed. The problem of increasing the counting step with respect to time and typical errors are discussed. Brief reviews of the use of the operator exponential method and the method of nonreflecting boundary conditions are given. The possibilities of the hyperbolization method for NLS are discussed.
Аннотация
Появление суперкомпьютеров позволило моделировать многомерные НУШ и выявило новые проблемы: потребовались новые распараллеливаемые алгоритмы.
Для уравнений "параболического" типа, к которым относится нестационарное уравнение Шредингера, численные схемы обладают очень жесткими условиями устойчивости: Δt < Δx2 , что по сути дела при измельчении сетки замедляет решение задачи. Помимо этого, в уравнениях типа НУШ высокие пространственные гармоники не затухают с течением времени, а имеют быстро меняющиеся фазы, что приводит даже при "относительно мягком" условии устойчивости к явлению случайных фаз.
-----------------------------
24 November 2022
ON THE STABILITY OF SHARPLY STRATIFIED SHEAR FLOWS
WITH INFLECTION-FREE VELOCITY PROFILES
S.M.Churilov
Institute of Solar-Terrestrial Physics, Irkutsk
We study the linear stability of shear flows with sharp stratification (ℓ << L,
where ℓ and L =1 are vertical scales of density and velocity variation
respectively) and a monotonic velocity profile ( ) x V =U z which has no inflection
points and increases from U = 0 at the bottom (z = 0) to U =1 when
z®+¥, U¢(0) =1. We show that such a flow with step density variation (ℓ = 0)
and U¢¢ < 0 has the instability domain of an universal form on the (k, J) plane,
where k is the wave number and J is the bulk Richardson number. Namely, the
domain is bounded by abscissa axis (J = 0) , dispersion curve J = J (k,c =1) , and
the segment of ordinate axis (k = 0) connecting them. Here c is the phase velocity
of the wave. The role of null-curvature points on the velocity profile (where
U¢¢ = 0, but does not change its sign) in the transformation of such an instability
domain into that of a flow with a piecewise linear velocity profile is discussed.
It is shown that in continuously stratified flows with 0 < ℓ <<1, a countable
infinity of oscillation modes appears with ( , ), 0,1,2,... m J = J k c m = . For any m,
streamwise propagating (i.e., y-independent) waves have instability domain
extending from the upper boundary,
By virtue of Squire's theorem, the lower "stability bands" (between ( ) ( ) m J - k and the
J = 0 axis) are filled with unstable oblique waves. When J is in the range from
O(ℓ2 ) to O(ℓ) , unstable oblique and streamwise propagating waves (mainly
belonging to m = 0 mode) successfully compete, and a wide spectrum of threedimensional
unstable waves with close streamwise phase velocities and
comparable growth rates is excited.
Аннотация
В линейном приближении исследуется устойчивость резко стратифициро-
ванных (ℓ << L, где ℓ и L =1 – вертикальные масштабы изменения плотности и
скорости) сдвиговых течений, скорость которых ( ) x V =U z монотонно растет без
точек перегиба от нуля на дне (z = 0) до 1 при z®+¥, U¢(0) =1. Показано, что
в пределе скачка плотности (ℓ = 0) течения с U¢¢ < 0 имеют на плоскости (волно-
вое число k - параметр Ричардсона J ) область неустойчивости универсального
вида, ограниченную осью абсцисс (J = 0) , дисперсионной кривой J = J (k,c =1)
и соединяющим их отрезком оси ординат (k = 0), где c - фазовая скорость
волны. Изучена роль точек нулевой кривизны на профиле скорости (в которых
U¢¢ = 0, но знак не меняет) в трансформации такой области неустойчивости в
область неустойчивости течения с кусочно-линейным профилем скорости.
Показано, что в непрерывно стратифицированных течениях с 0 < ℓ <<1 появ-
ляется счетное множество мод колебаний, ( , ), 0,1,2,... m J = J k c m = Продольные
(не зависящие от y ) волны при каждом m имеют область неустойчивости,
простирающуюся от своей верхней границы,
В силу теоремы Сквайра нижние «полосы устойчивости» (между ( ) ( ) m J - k и осью
абсцисс) заполняют неустойчивые косые волны. При значениях параметра J в
диапазоне от O(ℓ2 ) до O(ℓ) продольные и косые неустойчивые волны успешно
конкурируют, и возбуждается широкий спектр трехмерных неустойчивых волн
с близкими продольными фазовыми скоростями и сравнимыми инкрементами.
------------------------------------------------------------
10 November 2022 2:00 PM (MSK =11:00 GMT+3:00)
prof. Nikolay A. Kudryashov.
From the Painlevet test to methods for constructing analytical solutions of nonlinear ODES
Abstract.
The application of the Painlevet test to analyze nonlinear ordinary differential equations is discussed. A brief review of classical works by S. V. Kovalevskaya on solving the problem of motion of a rigid body with a fixed point and works by P. Penleve on the classification of one class of second-order equations is given. The well-known example of the Korteweg-de Vries equation taking into account the traveling wave solutions illustrates the Painlevet property for a nonlinear oscillator. Special attention is paid to non-integrable partial differential equations such as the Korteweg-de Vries-Burgers equation and the Kuramoto-Sivashinsky equation. Using traveling wave solutions, the construction of analytical solutions to these equations is illustrated. Possible applications of the simplest equations method for constructing analytical solutions of non-integrable differential equations are discussed. The application of the method for constructing optical solitons of a generalized nonlinear Schrodinger equation of unrestricted order with nonlinearity in the form of a polynomial is illustrated.
Аннотация
Обсуждается применение теста Пенлеве для анализа нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Дается краткий обзор классических работ С. В. Ковалевской решения задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой и работ П. Пенлеве по классификации одного класса уравнений второго порядка. На хорошо известном примере уравнения Кортевега-де Вриза в переменных бегущей волны иллюстрируется свойство Пенлеве для нелинейного осциллятора. Особое внимание уделено неинтегрируемым уравнениям в частных производных таким как уравнение Кортевега-де Вриза-Бюргерса и уравнение Курамото-Сивашинского. Используя переменные бегущей волны иллюстрируется построение аналитических решений этих уравнений. Обсуждаются возможные варианты применения метода простейших уравнений для построения аналитических решений неинтегрируемых дифференциальных уравнений. Иллюстрируется применение метода для построения оптических солитонов обобщенного нелинейного Шредингера произвольного порядка с нелинейностью в виде полинома.
----------------------------------------------------------------------
27 October 2022 2:00 PM (MSK =11:00 GMT+3:00)
prof. A.B. Borisov, & D.V. Dolgikh
Integration of the equations of the Heisenberg model (2D) and the chiral SU(2) models by differential geometry methods.
Abstract.
In the report we use the differential -geometric integration method, by integration of the equations of the two -dimensional equation of Heisenberg and the three -dimensional chiral SU (2) model. The meaning of the method is as follows. First, we make a hodograph transformation, i.e. we change the role of dependent and independent coordinates. Unlike the standard transformation, we do not just introduce derivatives from the previous coordinates in new ones, but determine through these derivatives as new fields associated with the components of the metric tensor, which appears in the implementation of the transformation of the year. Since the initial independent coordinates were the Euclidean, the tensor of curvature in the terms of the introduced metric should contact zero. Ultimately, we get a self -compiled system of equations to calculate the component of the metric tensor. At the same time, the equations guaranteeing the appeal to the zero of the tensor of curvature turn out to be the main ones, and the system of non linear equations of models with their reduction. The solutions of constructed equations allow us to record in the form of implicit functions of solving the source models. It is important that the differential -geometric method of integrating the model, based on the inclusion of a nonlinear equation in private derivatives in a certain differential relationship in the Euclidean space, allows you to analyze many diverse spatial structures, the study of which other methods is extremely difficult. The found solutions in the chiral SU (2) are described by three -dimensional configurations containing, in particular, spatial vortices, sources, non -localized textures and structures with a degree of display equal to unit, similar to topological solitons. In the Heisenberg model, we find a vortex strip (limited vortex region in the plane). Many of the solutions obtained depend on arbitrary functions.
В докладе для интегрирования уравнений двумерного уравнения Гейзенберга и трехмерной киральной SU(2 )модели применяется дифференциально–геометрический метод интегрирования, суть которого состоит в следующем. Вначале совершаем преобразование годографа, т.е. меняем роль зависимых и независимых координат. В отличие от стандартного преобразования годографа, мы не просто вводим производные от прежних координат по новым, а определяем через эти производные новые поля, связанные с компонентами метрического тензора, который появляется при осуществлении преобразования годографа. Поскольку первоначальные независимые координаты были евклидовы, тензор кривизны в терминах введенной метрики должен обращаться в нуль. В конечном счете, получаем самосогласованную систему уравнений для расчета компонент метрического тензора. При этом уравнения, гарантирующие обращение в нуль тензора кривизны, оказываются главными, а система нелинейных уравнений моделей их редукцией. Решения построенных уравнений позволяют записать в виде неявных функций решения исходных моделей. Важно, что дифференциально–геометрический метод интегрирования модели, основанный на вложении нелинейного уравнения в частных производных в определенную дифференциальную связь в евклидовом пространстве, позволяет проанализировать множество разнообразных пространственных структур, изучение которых другими методами крайне затруднительно. Найденные решения в киральной SU(2 )модели описывают трехмерные конфигурации, содержащие, в частности, пространственные вихри, источники, нелокализованные текстуры и структуры со степенью отображения равной единице, сходные с топологическими солитонами. В модели Гейзенберга мынаходим вихревую полоску(ограниченную вихревую область в плоскости)Многие из полученных решений зависят от произвольных функций.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
13 October 2022
Title: Some solutions of the Euler system of an inviscid incompressible fluid
Speaker: prof. Oleg Kaptsov
ICM, Krаsnoyarsk, Russia
Abstract.
We consider a system of two-dimensional Euler equations describing the motions of an inviscid incompressible fluid. It reduces to one non-linear equation with partial derivatives of the third order. A group of point transformations allowed by this equation is found. Some invariant solutions and solutions not related to invariance are constructed. The solutions found describe vortices, jet streams, and vortex-like formations.
----------------------------------------------------
29 September 2022
Title: Nonlinear stationary internal waves in a weakly stratified fluid
Speaker: prof. Nikolay Makarenko
Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Novosibirsk, Russia
Email: nick_mak@mail.ru
We consider three classes of problems related to the construction and analysis of asymptotic solutions of the Euler equations for an inviscid inhomogeneous fluid.
1. Stationary solutions such as solitary- and periodic waves in a continuously stratified fluid, and their limiting regimes
2. Parametric families of solutions of the 2.5-layer model of nonlinear long waves and their applications in oceanology
3. Stationary wave structures and trapped solitary waves over an uneven bottom
Аннотация
Рассматриваются три круга постановок, связанных с построением и анализом асимптотических решений уравнений Эйлера невязкой неоднородной жидкости.
1. Стационарные решения типа уединенных и периодических волн в непрерывно стратифицированной жидкости и их предельные режимы
2. Параметрические семейства решений 2.5 –слойной модели нелинейных длинных волн и их приложения в океанологии
3. Стационарные волновые структуры и захваченные уединенные волны в течениях над неровным дном
-----------------------------------------------------------
Seminar: 26 May 2022 2:00 PM (MSK =11:00 GMT+3:00)
проф. А.В. Слюняев Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород "Морские волны-убийцы: проблема, задачи и решения"
Аннотация
Предлагается обзор исследований, связанных с т.н. морскими волнами-убийцами - неожиданно высокими волнами, по некоторым данным появляющимися слишком часто, чем ожидается. Формулируется проблема
океанологии в ее сегодняшнем понимании, обозначаются направления исследований и поставленные перед ними задачи, обсуждаются уже полученные результаты.
Подключиться к конференции Zoom
https://us04web.zoom.us/j/2084211239?pwd=bzZoZFF0RFl6TzBBZ2hHa3pZS0prQT09
Meeting ID: 208 421 1239
Password: SeminarMM
-------------------------
12 May 2022
Joint Effects of Rotation and Topography on Internal Solitary Waves
1) K.R. Helfrich, 2) L.A. Ostrovsky 3) Yu. A. Stepanyants
1)Department of Physical Oceanography, Woods Hole Oceanographic Institution, Woods Hole, MA USA. Email: Khelfrich@whoi.edu
2)Department of Applied Mathematics, University of Colorado, Boulder, CO, USA.
Email: Lev.Ostrovsky@gmail.com
3)School of Mathematics, Physics and Computing, University of Southern Queensland, Toowoomba, QLD, 4350, Australia. Email: Yury.Stepanyants@usq.edu.au
Abstract
We present the results of the recent study of dynamics of nonlinear oceanic solitary waves under the influence of the combined effects of nonlinearity, Earth’s rotation, and depth inhomogeneity. Our consideration is based on the extended model of the Korteweg–de Vries (KdV) equation that in general accounts for the quadratic and cubic nonlinearity (the Gardner equation) with the additional terms incorporating the effects of rotation and slowly varying depth. After a brief historical outline, using the asymptotic (adiabatic) theory, we describe a complex interplay between these factors. As an application, the case of a two-layer fluid with the variable-depth lower layer is considered using the approximate theory, as well as through numerical solutions of the governing equation that includes all the above factors under realistic oceanic conditions. In particular, different scenarios of the soliton propagating toward the “internal beach” (e.g., zero lower-layer depth) are studied in which the terminal damping can be caused by radiation or disappearing quadratic nonlinearity (when the layers’ depths become equal). We also consider interaction of a soliton with a long wave providing the energy “pump” compensating the radiation losses due to rotation so that the soliton can exist infinitely. The limitations of the adiabatic approach due to the radiation and other factors are also demonstrated.
Title: "Ветвление периодических решений и законы сохранения нелинейных уравнений теории волн" (по материалам кандидатской диссертации)
Speaker: Захар Макридин (ИГ СО РАН Новосибирск)
Аннотация:
В настоящей диссертации рассматриваются два типа задач математической теории нелинейных волн. Первый тип связан с построением семейств асимптотических периодических решений системы слабосвязанных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получается при переходе к бегущей переменной в модельной системе зацепленных уравнений Кортевега -- де Фриза. В задачах второго типа исследуются способы построения трехмерных законов сохранения коммутирующих интегрируемых гидродинамических цепочек и их редукций.
------------------------------------------------------------------
Date and time: 14 April 2022 at 02:00 PM (Moscow time = GTM+3:00)
Title: O(3)MODEL: INTEGRABILITY. STATIONARY AND DYNAMIC MAGNETIC STRUCTURES
Speaker: Prof. А.B.Borisov
чл.-корр. РАН А.Б. Борисов, Екатеринбург
Аннотация
Трехмерная O(3) модель для единичного вектора n(r) имеет многочисленные применения в теории поля и физике конденсированных сред. Показано,
что эта модель в стационарном случаеинтегрируема при некоторой дифференциальной связи (определенныхограничениях на градиенты полей Θ(r), Φ(r), параметризующих вектор n(r)). При наличии дифференциальной связи уравнения модели редуцируются к одномерному уравнению sin–Gordon, определяющему зависимость поля Θ(r) от вспомогательного
поля 𝑎(r), и систему двух уравнений (∇𝑆)(∇𝑆) = 0, Δ𝑆 = 0 для комплекснозначной функции 𝑆(r) = 𝑎(r) + iΦ(r). Показано, что непосредственное решение этой системы
дает все известные ранее точные решения модели: двумерные магнитные инстантоны
и трехмерные структуры типа ежей.
Показано, что найденное таким образом точное решение системы для поля 𝑆(r) приводит к точному решению уравнений 𝑂(3)–модели
в виде произвольной неявной функции от двух переменных. Обсуждается два простейших решений этих уравнений: новая магнитная структура, которая представляет две прямолинейные пересекающиеся вихревые нити и структуру типа «включения»
Исследована интегрируемость динамических уравнений (O(3)-модели в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве-времени Использована дифференциальная подстановка, сводящая этиуравнения к одномерному уравнению синус-Гордон и системе из двух уравнений для комплексной функции S(r, t), которая однозначно определяет вектор n(r,t). Доказано, что решение уравнений для этой функции сводится к решению системы четырех квазилинейных уравнений для вспомогательных полей. Получено их точное решение в виде неявной функции от двух перемен-
ных, которая определяет точные решения динамических уравнений O(3)модели с учетом дифференциальных связей. В качестве примера описаны динамика плоского вихря в пространстве R2, структура типа “ежа” и новой динамической топологической структуры .
Литература.
1.А. Б. Борисов, Трехмерные вихри в модели Гейзенберга,
ТМФ, 2021, том 208, номер 3, 471–480
(THREE-DIMENSIONAL VORTICES IN THE HEISENBERG MODEL
A. B. Borisov Theoretical and Mathematical Physics, 208(3): 1256–1264 (2021))
2.А.Б. Борисов Об интегрируемости 𝑂(3)–модели ,Уфимский математический журнал. Том 13. № 2 (2021). С. 6-10
(А B. Borisov, On integrability of O(3)–model, Ufimsk. Mat. Zh., 2021, Volume 13,Issue 2, 6–10)
3.А.Б. Борисов Динамика трехмерных магнитных
структур в модели Гейзенберга
ТМФ, 2022, том 210, номер 1, страницы 115–127
(A.B. Borisov DYNAMICS OF THREE-DIMENSIONAL MAGNETIC STRUCTURES IN THE HEISENBERG MODEL Theoretical and Mathematical Physics, 210(1): 99–110 (2022))
Abstract.
A three-dimensional O(3) model for a unit vector n(r) has numerous application
in the field theory and in the physics of condensed matter. We prove that this model
is integrable under some differential constraint, that is, under certain restrictions for the
gradients of fields Θ(r ), Φ(r), parametrizing the vector n(r)). Under the presence of the
differential constraint, the equations of the models are reduced to a one-dimensional sine-
Gordon equation determining the dependence of the field Θ(r) on an auxiliary field a(r)
and to a system of two equations (∇S)(∇S) = 0, _S = 0 for a complex-valued function
S(r) = a(r)+i_ Φ(r). We show that the solution of this system provide all known before exact
solutions of models, namely, two-dimensional magnetic instantons and three-dimensional
structures of hedgehog type.
. We show that the found in this way exact solution of the
system for the field S(r) leads one to exact solution of equations of O(3)–model in the form
of an arbitrary implicit function of two variables. Two simple solutions of these equations are discussed: a new magnetic structure that represents two straight intersecting vortex threads and a "inclusion" type structure.
The integrability of the dynamical equations the O(3) model in four-dimensional
pseudo-Euclidean space–time was investigated . We use
a differential substitution to reduce the equations to the one-dimensional sine-Gordon equation and
a system of two equations for a complex-valued function S(r, t) that uniquely determines a vector n.
We prove that solving the equations for this function amounts to solving a system of four quasilinear
equations for auxiliary fields. We obtain their exact solution in the form of an implicit function of three
variables, which then determines the exact solutions of the dynamical equations with differential
constraints taken into account. As examples, we describe the dynamics of a plane vortex in D = (2.1).,
a “hedgehog”-type structure, and new dynamical topological structure
References:
1.А. Б. Борисов, Трехмерные вихри в модели Гейзенберга,
ТМФ, 2021, том 208, номер 3, 471–480
(THREE-DIMENSIONAL VORTICES IN THE HEISENBERG MODEL
A. B. Borisov Theoretical and Mathematical Physics, 208(3): 1256–1264 (2021))
2.А.Б. Борисов Об интегрируемости 𝑂(3)–модели ,Уфимский математический журнал. Том 13. № 2 (2021). С. 6-10
(А B. Borisov, On integrability of O(3)–model, Ufimsk. Mat. Zh., 2021, Volume 13,Issue 2, 6–10)
3.А.Б. Борисов Динамика трехмерных магнитных
структур в модели Гейзенберга
ТМФ, 2022, том 210, номер 1, страницы 115–127
(A.B. Borisov DYNAMICS OF THREE-DIMENSIONAL MAGNETIC STRUCTURES IN THE HEISENBERG MODEL Theoretical and Mathematical Physics, 210(1): 99–110 (2022))
---------------------------------------------------------------
Date and time: 31 March 2022 at 02:00 PM (Moscow time = GTM+3:00)
Title: Generalized factorization of second-order linear partial differential operators and reflectionless wave propagation in shallow water
Speaker: prof. S.P. Tsarev, Siberian Federal University, Krasnoyarsk
Обобщенная факторизация линейных дифференциальных операторов второго порядка с частными производными и безотражательное распространение волн на мелкой воде
Аннотация
Данный доклад будет посвящен интерпретации недавнего доклада С.М. Чурилова и Ю.А. Степанянца (Безотражательное распространение поверхностных волн на мелкой воде в канале переменной ширины и глубины на фоне неоднородного течения, https://researchseminars.org/talk/mmandim/35/) с точки зрения теории обобщенной факторизации дифференциальных операторов ([1]).
Как показано в работах С.М. Чурилова, Ю.А. Степанянца и др. ([2]), факторизация оператора второго порядка с двумя независимыми переменными, описывающего распространение волн в неоднородной одномерной среде, в произведение операторов первого порядка приводит к появлению большого семейства решений, описывающих с физической точки зрения волны, которые можно считать распространяющимися без отражения от неоднородностей.
Мы расскажем о теории обобщенной факторизации операторов с частными производными второго порядка, ведущей свое начало от работ выдающихся математиков XIX - начала XX века П.-С.Лапласа, Г.Дарбу, Э.Гурса и др. и получившей дальнейшее развитие в конце XX века.
Обобщенная теория факторизации позволяет существенно расширить класс безотражательных решений.
References:
[1] Е.И. Ганжа, С.П. Царев, "Классические методы интегрирования гиперболических систем и уравнений второго порядка", 2007 (КГПУ), http://dx.doi.org/10.13140/2.1.4535.8084
Полный текст доступен по ссылке:
https://www.researchgate.net/profile/Sergey-Tsarev/publication/235993531_Klassiceskie_metody_integrirovania_giperboliceskih_sistem_i_uravnenij_vtorogo_poradka/links/0c96051550c72803c2000000/Klassiceskie-metody-integrirovania-giperboliceskih-sistem-i-uravnenij-vtorogo-poradka.pdf
[2] Churilov, Semyon M., and Yury A. Stepanyants. "Reflectionless wave propagation on shallow water with variable bathymetry and current." Journal of Fluid Mechanics 931 (2022).
Abstract.
This talk will be devoted to an interpretation of a recent talk by S.M. Churilov and Yu.A. Stepanyants (Reflectionless propagation of surface waves in shallow water in a channel of variable width and depth against the background of an inhomogeneous flow, https://researchseminars.org/talk/mmandim/35/) from the point of view of the theory of generalized factorization of differential operators ([1]).
As shown in the works of S.M. Churilov, Yu.A. Stepanyants et al. ([2]), the factorization of a second-order operator with two independent variables, which describes the propagation of waves in an inhomogeneous one-dimensional medium, into a product of first-order operators results in the appearance of a large family of solutions that describe, from a physical point of view, waves that can be considered propagating without reflection from inhomogeneities.
We will expose briefly the theory of generalized factorization of second-order partial differential operators, originating from the works of outstanding mathematicians of the 19th - early 20th century P.-S. Laplace, G. Darboux, E. Goursat and others and further developed at the end of the 20th century.
The generalized factorization theory allows us to substantially expand the class of reflectionless solutions.
References:
[1] E.I. Ganzha, S.P. Tsarev, "Classical methods of integration of hyperbolic systems and equations of the second order", 2007, KSPU (in Russian), http://dx.doi.org/10.13140/2.1.4535.8084
The full text is available at the link:
https://www.researchgate.net/profile/Sergey-Tsarev/publication/235993531_Klassiceskie_metody_integrirovania_giperboliceskih_sistem_i_uravnenij_vtorogo_poradka/links/0c96051550c72803c2000000/Klassiceskie-metody-integrirovania-giperboliceskih-sistem-i-uravnenij-vtorogo-poradka.pdf
[2] Churilov, Semyon M., and Yury A. Stepanyants. "Reflectionless wave propagation on shallow water with variable bathymetry and current." Journal of Fluid Mechanics 931 (2022).
-----------------------------------------------------------------------------------
Date and time: 17 March 2022 at 02:00 PM (Moscow time = GTM+3:00)
Title: Solutions of the Euler equations and stationary structures in an inviscid fluid.
Speaker: prof. Oleg Kaptsov
Abstract.
The Euler equations describing two-dimensional steady flows of an inviscid fluid are studied. These equations are reduced to one equation for the stream function and then, using the Hirota function, solutions of three nonlinear elliptic equations are found. The solutions found are interpreted as sources in a rotating fluid, jets, chains of sources and sinks, vortex structures. We propose a new simple method for constructing solutions in the form of rational expressions of elliptic functions. It is
shown that the flux of fluid across a closed curve is quantized in the case of the elliptic Sin-Gordon equation.
-------------------------------------------------
Date and time: 3 March 2022 at 02:00 PM (Moscow time = GTM+3:00)
Title: Квантовая "ревизия" теоремы Пифагора
Speakers: проф. Ю. В. Брежнев (Томск)
Аннотация
Квантовая "ревизия" теоремы Пифагора.
Странность этого утверждения только кажущаяся и оно может быть
сформулировано даже более экстравагантно. Мы даем "единственно
правильное" понимание, которое стоит за реальным смыслом теоремы
Пифагора. Хотя речь идет о классическом математическом утверждении,
его переформулировка мотивирована квантовой темой. А именно,
проблемой понимания и вывода знаменитого правила квантовой
вероятности - правила Борна, - которое записывается через квадрат
модуля |a|^2. Если кратко, то "почему квадрат"? Есть прямой ответ на
этот вопрос, а появление этих квадратов, модулей и двоек -
комплексной и обычной вещественной - оказываются совершенно
однотипным.
Ключевыми словами к материалу является задача последовательного
логического построения исчисления (calculus) на векторном
пространстве. Тогда рассмотрение известных правил параллелограмма,
неравенства треугольника, понятия углов, аксиом скалярного
произведения, нормы, топологий и т.д. достаточно заменить на задачу
построения количественных величин на векторах. Отсюда будет
следовать сначала собственно Пифагорово утверждение и только потом
(!) - вышеуказанные объекты. Теорема, при этом, перестает быть
теоремой, превращаясь, грубо говоря, в некоторое естественное
минималистическое определение; подробности последуют. Сам квадрат в
"теореме" появляется как единственно возможное следствие.
Перечисленные выше элементы школьной геометрии становятся, в свою
очередь, производными от Пифагорова квадрата, с последующей ревизией
первичности понятия длины. С квантовыми (комплексными)
аналогами — ситуация точно такая же. Более того, именно
количественно-статистическая идеология и природа квантового правила
Борна дает подсказку к "новому взгляду на" и наиболее убедительные
"объяснения к" этой древней греческой теореме.
--------------------------------------------------
The seminar starts 17 February 2022 at 02:00 PM (Moscow time) = GTM+3:00)
Title: Безотражательное распространение поверхностных волн на мелкой воде в канале переменной ширины и глубины на фоне неоднородного течения
Speakers: проф. Семён Чурилов (Институт солнечно-земной физики СО РАН, Иркутск),
проф. Юрий Степанянц (Университет Южного Квинсленда, Тувумба, Австралия).
Подключиться к конференции Zoom
https://us04web.zoom.us/j/2084211239?pwd=bzZoZFF0RFl6TzBBZ2hHa3pZS0prQT09
Meeting ID: 208 421 1239
Password: SeminarMM
Аннотация
В приближении мелкой воды рассмотрена линейная задача о распространении
поверхностных волн на фоне неоднородного течения идеальной жидкости в канале с
изменяющимися вдоль потока шириной W(x) и глубиной H(x) [1,2]. Найдены три вида
соотношений, связывающих скорость течения U(x) и скорость распространения волн
c(x) = sqrt(gH(x)) , таких, что при выполнении любого из них волны произвольной формы
распространяются без отражения как по течению, так и против него. В соответствии с
этим выделены три класса безотражательных течений и исследованы их свойства.
В течениях класса А скорости течения и волн связаны простым соотношением
c(x)U(x) = П = const,
обеспечивающим распространение волн без отражения на любые расстояния, т.е. вдоль
всей оси x . В течениях классов В и С скорости связаны дифференциальным уравнением
первого порядка (своим в каждом классе), которое имеет особые точки. Поэтому здесь в
общем случае регулярные решения существуют лишь на ограниченных интервалах
изменения x (луче или конечном интервале). Для каждого класса найдены условия, при
которых есть регулярные решения на всей оси x . Кроме того, показано, что можно
конструировать и «составные» безотражательные течения класса В.
Общий анализ проблемы проиллюстрирован решениями для конкретных соотношений
между глубиной и скоростью течения.
Публикации
1. Churilov S.M., Stepanyants Yu.A. Reflectionless wave propagation on shallow water with
variable bathymetry and current. J. Fluid Mech. 931, A 15, 2022; arXiv:2108.12549v2
[physics.flu-dyn], 2021.
2. Churilov S.M., Stepanyants Yu.A. Reflectionless wave propagation on shallow water with
variable bathymetry and current. II. arXiv: 2201.00307v1 [physics.flu-dyn], 2022.
---------------------------------------------------
The seminar starts 3 February 2022 at 02:00 PM (Moscow time) = GTM+3:00)
Title: Formation of envelop solitary waves from the localised pulses within the Ostrovsky equation
Speaker: Prof. Yury Stepanyants University of Southern Queensland, Toowoomba, Australia
Подключиться к конференции Zoom
https://us04web.zoom.us/j/2084211239?pwd=bzZoZFF0RFl6TzBBZ2hHa3pZS0prQT09
Meeting ID: 208 421 1239
Password: SeminarMM
Abstract
We study the formation of envelope solitons from the Korteweg–de Vries (KdV) solitons in the long term evolution within the framework of the Ostrovsky equation. This equation was derived by L.A. Ostrovsky in 1978 for the description of weakly nonlinear oceanic waves affected by the Earth' rotation. Subsequently, it became clear that this equation is rather universal; currently, it is widely used for the description of nonlinear waves in various media. This equation is, apparently, non-integrable and even does not possess steady solitary wave solutions in application to media with negative small-scale dispersion. As has been shown by Grimshaw and Helfrich (2008), long-term evolution of initial pulses in the form of small-amplitude KdV soliton results in the emergence of envelope solitons which can be described by the nonlinear Schrodinger (NLS) equation. However, the generalised NLS equation derived by Grimshaw and Helfrich (2008) provides the results which are in contradiction with the numerical simulations. The problem was later revisited by Grimshaw and Stepanyants (2020) and was shown that the wave packet asymptotically appearing after a long-term evolution of a KdV soliton can be described by the conventional NLS equation. The solution obtained for an envelope soliton agrees well with the results of numerical simulations.
Title Формирование уединенных волн огибающей из локализованных импульсов в рамках уравнения Островского
Аннотация
Рассматривается формирование солитонов огибающей из солитонов Кортевега–де Вриза (КдВ) в процессе долговременной эволюции в рамках уравнения Островского. Это уравнение было выведено Л.А. Островским в 1978 г. для описания слабо нелинейных океанских волн, находящихся под влиянием вращения Земли. Впоследствии выяснилось, что это уравнение достаточно универсально; в настоящее время оно широко используется для описания нелинейных волн в различных средах. Это уравнение, по-видимому, неинтегрируемо и даже не имеет стационарных решений в виде уединенных волн применительно к средам с отрицательной мелкомасштабной дисперсией. Как было показано в работе Гримшоу и Хелфрика (Grimshaw, Helfrich, 2008), длительная эволюция начальных импульсов в виде солитона КдВ малой амплитуды приводит к возникновению солитонов огибающей, которые могут быть описаны нелинейным уравнением Шредингера (НУШ). Однако обобщенное нелинейное уравнение Шредингера, полученное в работе Гримшоу и Хелфрика, приводит к решениям, противоречащим результатам численного моделирования. Позднее в нашей работе с Гримшоу (Гримшоу и Степанянц, 2020), эта проблема была заново исследована и было показано, что волновой пакет, асимптотически возникающий после долговременной эволюции солитона КдВ, может быть описан обычным уравнением НУШ. Полученное решение для солитона огибающей хорошо согласуется с результатами численного моделирования.
------------------------------
Date: 20 01 2022 at 02:00 PM (Moscow time) = GTM+3:00)
Title: О вариационных принципах для уравнений пограничного слоя.
Speaker: к.ф.-м.н. К.П. Дружков (МГУ)
Аннотация
В докладе будут рассмотрены стационарные уравнения пограничного слоя в эйлеровых переменных (при постоянном давлении поступательно движущегося внешнего потока). Для этой системы уравнений будет дано полное решение обратной задачи вариационного исчисления: будет показано, что не существует ни одного функционала действие, такого что:
1) среди его стационарных точек содержатся все решения данной системы (и, быть может, что-нибудь ещё),
2) определяемое им соответствие из теоремы Нётер нетривиально.
------------------------------------------------------------
Date 23 12 2021
Title: A Method for Finding Reciprocal Transformations
Speaker: S. V. Meleshko
School of Mathematics, Institute of Science, Suranaree University of Technology, Nakhon Ratchasima, Thailand
Abstract
Equivalence transformations play one of the important roles in continuum mechanics. These
transformations reduce the original equations to simpler forms. One of the classes of nonlocal
equivalence transformations is the class of reciprocal transformations. Despite the long history
of applications of such transformations in continuum mechanics, there is no method of obtaining
them. Recently such a method was proposed. The method uses group analysis approach
and it consists of similar steps as for finding equivalence group of transformations. The new
method provides a systematic tool for finding classes of reciprocal transformations (reciprocal
equivalence group of transformations). Similar to the classical group analysis this approach can
be also applied for finding all discrete reciprocal transformations (not only composing a group).
For an illustration the method is demonstrated by several models applied in hydrodynamics.
The author is very thankful to Professor Colin Rogers for attracting my attention to reciprocal
transformations.
--------------------------------------------------------------
9 Deсember 2021
Title: Интегрируемое уравнение Абеля второго рода, возникающее при описании асимптотик
симметрийного решения уравнения Кортевега-де Вриза.
Speaker: д.ф.-м.н. Сулейманов Булат Ирекович
Abstract
Представлено общее решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с рациональной правой частью, возникающего при построении асимптотик при больших значениях времени совместных решений уравнения Кортевега-де Вриза и стационарной части его высшей неавтономной симметрии, определяемой линейной комбинацией первой высшей автономной симметрии уравнения Кортевега-де Вриза и его классической симметрии Галилея. По теореме о неявной функции данное общее решение локально находится из первого интеграла, явно выписанного в терминах гипергеометрических функций. Частный случай этого общего решения определяет автомодельные решения уравнений Уизема, найденные ранее Г.В. Потеминым в 1988 г. (В известных работах А.В. Гуревича и Л.П. Питаевского начала 70-х годов было установлено, что данные решения уравнений Уизема в главном порядке описывают возникновение незатухающих осциллирующих волн в широком ряде задач с малой дисперсией.) Результат статьи вновь подтверждает эмпирическое правило: из интегрируемых уравнений в результате различных предельных переходов могут получаться лишь в том или ином смысле интегрируемые уравнения. Выдвигается общая гипотеза: интегрируемые обыкновенные дифференциальные уравнения, подобные рассматриваемому в статье, должны возникать и при описании асимптотик при больших временах других симметрийных решений эволюционных уравнений, допускающих применение метода обратной задачи.
-----------------------------------------------------
25 November 2021
Title: Modeling of the far region of a swirling turbulent wake using the Rodi model
Speaker: Dr. A. V. Schmidt
Abstract
The work is devoted to the construction of a self-similar solution for the far region of a swirling turbulent wake. The algebraic Rodi model is considered, which is a simplification of differential equations for the transfer of components of the Reynolds stress tensor. A group-theoretic analysis of the model is carried out. The reduced system was solved numerically using a modified shooting method. A detailed comparison of the constructed self-similar solution with results obtained by G.G. Chernykh and A.G. Demenkov by direct numerical integration of the model equations is performed.
---------------------------------------
11 November 2021
Title: Fall of Quantum Particle to the Center: Exact solution
Speaker: Prof. M. I. Tribelsky
Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University
Abstract
A fall of a particle to the center of a singular potential is one of a few fundamental problems of quantum mechanics. Nonetheless, its solution is not complete yet. The known results just indicate that if the singularity of the potential is strong enough, the spectrum of the Schrodinger equation is not bounded from below. However, the wave functions of the problem do not admit the limiting transition to the ground state. Therefore, the unboundedness of the spectrum is only a necessary condition. To prove that a quantum particle indeed can fall to the center, a wave function describing the fall should be obtained explicitly. This is done in the present paper. Specifically, an exact solution of the time-dependent Schrodinger equation corresponding to the fall is obtained and analyzed. A law for the collapse of the region of the wave function localization to a single point is obtained explicitly. It is shown that the known necessary conditions for the particle to fall simultaneously are sufficient.
---------------------------------------
28 October 2021
Title: Non-diagonalisable Hydrodynamic Type Systems, Integrable by Tsarev's Generalised Hodograph Method.
Speaker: Dr. Maxim Pavlov (Lebedev Physical Institute RAS, Moscow)
Abstract
We present a wide class of non-diagonalisable hydrodynamic type systems, which can be integrated by Tsarev' s generalised hodograph method. This class of hydrodynamic type systems contains Jordan blocks 2x2 only. The Haantjes tensor has vanished. This means such 2N component hydrodynamic type systems possess N Riemann invariants and N double eigenvalues only.
First multi-component example was extracted from El's nonlocal kinetic equation, describing dense soliton gas. All conservation laws and commuting flows were found. A general solution is constructed.
-----------------------------------------------------------------------------------
Тема: Блок-диагональные системы гидродинамического типа, интегрируемые методом обобщённого годографа Царёва
Докладчик: М. Павлов (ФИАН Москва)
Аннотация.
Геннадием Элем в 2003-ем году было выведено нелокальное кинетическое уравнение, описывающее солитонный газ произвольной плотности.
В пределе разреженного газа, это уравнение переходит в кинетическое уравнение, полученное
В.Е. Захаровым в 1971-ом году.
Для изучения свойств нелокального
кинетического уравнения Эля был использован
дельта-функциональный анзац Дирака,
который привёл к диагональной
полугамильтоновой системе
гидродинамического типа
(Г.А. Эль, А.М. Камчатнов, МВП, С.А. Зыков, 2008).
Было не только найдено общее решение, но
и выделен частный класс - глобальных решений,
связанных с гиперэллиптическими
алгебраическими кривыми.
Позднее этот же анзац был обобщён на
не-изоспектральный случай
(Г.А. Эль, В.Б. Таранов, МВП, 2012),
где была впервые в научной литературе
получена недиагонализуемая система
гидродинамического типа, приведённая
к блочно-диагональной структуре (жордановы блоки 2х2).
Там же была сформулирована гипотеза,
что эта система уравнений также интегрируема
методом обобщённого годографа Царёва.
Совсем недавно (Е.В. Ферапонтов, МВП, 2021)
удалось построить общую теорию таких
(жордановы блоки 2х2) блок-диагональных
систем гидродинамического типа.
В качестве примера была детально
рассмотрена система из предыдущей работы.
Было доказано прямым вычислением,
что эта система уравнений интегрируема
методом Царёва, и, более того, для неё
было найдено общее решение.
------------------------------------------------
20 October 2021
Title: Lumps and lump chain solutions of the KP-I equation
Speaker: Dr. Dmitry Zakharov (USA) .
Joint work with Andrey Gelash, Charles Lester, Yury Stepanyants, and Vladimir Zakharov
Abstract
The Kadomstev—Petviashvili equation is one of the fundamental equations in the theory of integrable systems. The KP equation comes in two physically distinct forms: KP-I and KP-II. The KP-I equation has a large family of rational solutions known as lumps. A single lump is a spatially localized soliton, and lumps can scatter on one another or form bound states. The KP-II equation does not have any spatially localized solutions, but has a rich family of line soliton solutions.
I will discuss two new families of solutions of the KP-I equation, obtained using the Grammian form of the tau-function. The first is the family of lump chain solutions. A single lump chain consists of a linear arrangement of lumps, similar to a line soliton of KP-II. More generally, lump chains can form evolving polygonal arrangements whose structure closely resembles that of the line soliton solutions of KP-II. I will also show how lump chains and line solitons may absorb, emit, and reabsorb individual lumps.
--------------------------------
14 October 2021
Speaker: Prof. Nikolay N. Osipov (Krasnoyarsk Mathematical Center)
Title: Simplification of Nested Real Radicals Revisited
Abstract
The problem of simplification of nested radicals over arbitrary number fields was studied by many authors. The case of real radicals over real number fields is somewhat easier to study (at least, from theoretical point of view). In particular, an efficient (i.e., a polynomial-time) algorithm of simplification of at most doubly nested real radicals is known. However, this algorithm does not guarantee complete simplification for the case of radicals with nesting depth more than two. In the talk, we give a detailed presentation of the theory that provides an algorithm which simplifies triply nested reals radicals over the field of rationals. Some new examples of triply (or more) nested real radicals that cannot be simplified are also given.
Николай Николаевич Осипов (Красноярский математический центр)
Снова об упрощении вложенных вещественных радикалов
Аннотация:
Проблема упрощения вложенных радикалов над произвольными числовыми полями изучалась многими авторами. Случай вещественных радикалов над вещественными полями несколько проще (по крайней мере, теоретически). В частности, известен полиномиальный алгоритм упрощения дважды вложенных вещественных радикалов, который, однако, не гарантирует полного упрощения, если уровень вложенности превышает два. В докладе предполагается дать развернутую презентацию теории, которая предоставляет алгоритм упрощения трижды вложенных радикалов над полем вещественных чисел. Также будут даны некоторые новые примеры трижды (и более) вложенных вещественных радикалов, которые нельзя упростить.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
30 September 2021
Integration of algebraic functions, polynomial approximation, nonclassical boundary problems and Poncelet-type theorems.
Prof. Sergey Tsarev (Siberian Federal University, Krasnoyarsk)
------------------------------------------------------------------------------------------------------
16 September 2021
SYMMETRIES AND SOLUTIONS OF THE THREE-DIMENSIONAL KADOMTSEV — PETVIASHVILI EQUATION
O. V. Kaptsov
A symmetry group of the three-dimensional Kadomtsev — Petviashvili equation is calculated. An example of an invariant solution is given. Exact solutions for the equation under study in the form of double waves are revealed. The resulting solutions are expressed in terms of elementary functions and describe an interaction between a pair of solitons. Smooth bounded rational solutions are also constructed.
20 мая 2021
On the Lifetime of a Free Neutron
Talyshev A.A.
Аннотация
Определение времени жизни свободного нейтрона пучковым методом и «bottled» методом дают ощутимо разные значения [1],[2]. И эту разницу пока не удается объяснить ни недостаточной точностью методов ни релятивистской поправкой. В пучковом методе нейтроны движутся со скоростью порядка 10000 км/сек, а в «bottled» методе значительно медленнее. С другой стороны можно построить преобразования координат инерциальных систем отсчета отказавшись от непосредственного сравнения подвижных и неподвижных объектов и от предположения о конечности скорости света [3]. Эти преобразования приводят к наличию предельной скорости. И при определенной договоренности о выборе базисов совпадают с преобразованиями Лоренца (если принять эту предельную скорость за скорость света). При этом поправка на замедление времени не обязана совпадать с общепринятой в специальной теории относительности.
Abstract
Determination of the lifetime of a free neutron by the beam method and the 'bottled' method give aloud different values [1], [2]. And this difference has not yet been explained by insufficient accuracy methods, no relativistic correction. In the beam method neutrons move at a speed of about 10000 km/sec, and in the 'bottled' method is much slower. On the other hand, we can constructing coordinate transformations inertial frames of reference abandoning the direct comparing moving and stationary objects and from the assumption about the finiteness of the speed of light [3]. These transformations lead to the maximum speed. And with a certain agreement on the choice of bases coincide with the Lorentz transformations (if we take this limiting speed for the speed of light). In this case, the correction for time dilation does not have to coincide with the generally accepted in the special theory of relativity.
1. A.T. Yue, M.S. Dewey, D.M. Gilliam, G.L. Greene,
A.B. Laptev, J.S. Nico, W.M. Snow, and F.E. Wietfeldt
Improved Determination of the Neutron Lifetime
// Phys. Rev. Lett. 2013. V. 111. P. 222501
arXiv:1309.2623v2 [nucl-ex] 27 Nov 2013
2. Серебров А.П. Разногласие между методом хранения ультрахолодных
нейтронов и пучковым методом при измерении времени жизни нетрона,
УФН, т. 189, N 6, с. 635–641.
3. Talyshev A.A. On the Geometric Approach to Transformations
of the Coordinates of Inertial Frames of Reference,
'Nonlinear Dynamics, Chaos, and Complexity',
Higher Education Press, Springer, 2021, pp. 113–124.
_______________________________________________________________________
13 апреля 2021
Бегущие волны в сильно неоднородных средах
Е.Н. Пелиновский
Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород
Abstract
Под распространяющейся волной в линейной теории обычно понимает функцию f(x – ct) с произвольной зависимостью от других пространственных координат (здесь t – время, и x координата). Их нахождение в случае одной пространственной координаты сводится к решению в простейшем случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Более сложно найти бегущие волны в волноводах со сложной поперечной структурой, и, например, нахождение бегущих волн в жидкости со свободной поверхностью стало предметом специального раздела нелинейной математики. Если параметры среды меняются медленно во времени или плавно в пространстве, то волна локально описывается теми же выражениями, что и в однородной среде, а изменение амплитуды и фазы волны находится с помощью лучевых методов, или более строго с помощью асимптотической процедуры. Уже давно было отмечено, что в некоторых случаях асимптотические решения являются точными и не требуют плавности изменения параметров среды. При этом возникают вопросы, являются ли такие решения бегущими волнами, если среда не является плавно неоднородной. В настоящем докладе эта проблема обсуждается применительно к волнам на воде. Показывается, что существуют несколько профилей переменной глубины, когда асимптотические решения для линейных волн становятся точными решениями. Такие решения всегда имеют сингулярные точки. Наряду с монохроматическими волнами, получены решения в виде бегущих импульсов, и исследована их форма. В частности, для одного класса донной геометрии поверхностная волна должна быть знакопеременной, при этом волна скорости частиц меняет свою форму по мере распространения. Получены соответствующие решения начальной задачи, демонстрирующие особенности формирования бегущих волн, движущихся в противоположных направлениях, при этом в общем случае формируется зона переменного течения между двумя разбегающими волнами. Эти решения применяются для изучения трансформации и отражения волны от излома глубины. Несмотря на «точечность» отражения, форма отраженной и преломленной волны меняется кардинально, в частности для любой формы падающей волны, трансформированная волна является знакопеременной. Приводятся примеры бегущих волн в атмосферной акустике, солнечной атмосфере и физики внутренних волн в стратифицированной жидкости. Существенно меньше результатов получено в нелинейной задаче.
-------------------------------------------------------
22 April 2021
«Стационарная плоская вихревая подмодель идеального газа»
Хабиров Салават Валеевич
Abstract
Подмодель идеального газа, инвариантная относительно переносов по времени и по одному пространственному направлению в случае вихревых движений имеет 4 интеграла. Для функции тока и удельного объема получена система нелинейных дифференциальных уравнений 3-го порядка с одним произвольным элементом, включающим в себя уравнение состояния и произвольные функции интегралов. Найдены преобразования эквивалентности по произвольному элементу. Решена задача групповой классификации. Получена оптимальная система не подобных подалгебр для алгебр из групповой классификации. Рассмотрены примеры инвариантных решений, описывающие вихревые движения газа с переменной энтропией, в том числе точечный источник или сток. На двумерных подалгебрах получены аналоги простых волн.
----------------------------------------------
15 April 2021
S.V. Meleshko
On generalized simple waves in continuum mechanics
Abstract
One of the well-known classes of solutions of many models of continuum mechanics is a set of solutions called simple wave-type solutions. From the method of differential constraints point of view, this class of solutions is described by homogeneous differential constraints. Application of the method of differential constraints allows one to generalize this class. The main feature of this class of solutions is that finding a solution of the original system of equations is reduced to solving a system of ordinary dierential equations. In particular, the presentation will show that finding a solution of any Cauchy problem of a homogeneous system of equations written in Riemann invariants, admitting a differential constraint, is reduced to solving the Cauchy problem of system of ordinary differential equations. This is similar to the method of characteristics for a partial differential equation with a single dependent variable. Illustrations of solutions for some initial data are given. Several models will be demonstrated in the presentation.
_____________________________________________________________________________________________
8 April 2021
О. В. Капцов
Общие решения некоторых линейных волновых уравнений с переменными коэффициентами
------------------------------------------------------------------------
25 March 2021
Ю. В. Шанько
________________________________________________
11 March 2021
The asymptotic approach to the description of two-dimensional soliton patterns in the oceans
Prof. Yury Stepanyants
(Applied Mathematics)School of Sciences
Faculty of Health, Engineering and Sciences
University of Southern Queensland
Toowoomba, QLD, 4350, Australia.
Email: Yury.Stepanyants@usq.
edu.au
Abstract
The asymptotic approach is suggested for the description of interacting surface and internal oceanic solitary waves. This approach allows one to describe a stationary moving wave patterns consisting of two plane solitary waves moving at an angle to each other. The results obtained within the approximate asymptotic theory is validated by comparison with the exact two-soliton solution of the Kadomtsev–Petviashvili equation. The suggested approach is equally applicable to a wide class of non-integrable equations too. As an example, the asymptotic theory is applied to the description of wave patterns in the 2D Benjamin–Ono equation describing internal waves in the infinitely deep ocean containing a relatively thin one of the layers.
The video presentation: Part 1 Part 2 Part 3
Symmetries, conservation laws, and exact solutions to a one-dimensional system of shallow water equations over an uneven bottom
Aksenov A.V., Druzhkov K.P. (Moscow University)
Abstract
The symmetries of a one-dimensional system of shallow water equations over an
uneven bottom in Euler’s variables are classified. Based on the results of the group
classification obtained, it is concluded that it is possible to reduce the one-dimensional
system of shallow water equations to a linear system of equations using point
transformations only in the cases of horizontal and inclined bottom profiles. We also
classify the contact symmetries of the one-dimensional shallow water equation over an
uneven bottom in Lagrangian’s variables.
The hydrodynamic conservation laws of a one-dimensional system of shallow
water equations in Eulerian’s variables are classified. A new basic conservation law is
obtained. The first-order conservation laws of the one-dimensional shallow water
equation in Lagrangian’s variables are classified.
A three-parameter family of exact solutions of a one-dimensional system of
shallow water equations over an inclined bottom is obtained and investigated, describing
the ”step’’ wave's arrival on the shore and its reflection from it. The nonlinear the
overwash effect and the effect of the amplification of the incoming wave when it is
reflected from the shore are described.
References
1. Stoker J.J., Water waves: The Mathematical Theory with Applications, Interscience
Publishers, New York, 1957.
2. Ovsiannikov L.V. Group Analysis of Differential Equations, Academic Press, New
York, 1982.
3. Aksenov A.V., Druzhkov K.P. Conservation laws and symmetries of the shallow water
system above rough bottom. Journal of Physics: Conference Series 2016, 722, 1–7.
4. Aksenov A.V., Dobrokhotov S.Yu., Druzhkov K.P. Exact step-like solutions of one-
dimensional shallow-water equations over a sloping bottom. Math. Notes 2018, 104
(6), 915–921.
5. Aksenov A.V., Druzhkov K.P. Conservation laws of the equation of one-dimensional
shallow water over uneven bottom in Lagrange’s variables. International Journal of
Non-Linear Mechanics 2020, 119, 103348, 1–8.
The video presentation: Part 1 Part 2 Part 3
------------------------------------------------------------------------------
Regularization of numerical estimation of the sets of solutions of ODEs in stability problems on a finite time interval
A.N. Rogalev
Abstract
The sets of ODE solutions, with initial data belonging to the initial data regions, have complex boundaries (boundary surfaces in the dimension space).For the boundaries of the sets of solutions (surfaces in the space of solutions), it is impossible to choose formulas of functions with the help of which it was possible to describe the boundaries.
As a result, there are two possibilities - either to describe the values of the boundary surfaces in a set of discrete points (on a grid), or to calculate their estimates of the maximum values in the directions of the coordinate axes, or the maximum in any chosen direction. The paper investigates and further uses the injectivity property of solutions to ODEs.For linear systems of ODEs the shift operator is linear and monomorphic (i.e., injective). These properties are also possessed by the resolving operator , which associates with the initial value the solution of the corresponding Cauchy problem (the entire solution, not its value at a point ) as an element of space .
For nonlinear ODE systems that have unique solutions in a certain region of initial data, the boundaries of the regions of initial data pass into the boundaries of the regions of solutions at each specific moment in time. The class of such nonlinear ODE systems consists of systems whose solutions are uniformly bounded (Lagrange stable).
Preliminarily, it is useful to construct a regularization of estimates for the boundaries of the solution sets, passing to the linear approximation of the original system.
Regularization is understood as finding information about sets of exact solutions.
This regularization establishes the values of compression / expansion in the given directions, offset along the time axis, and rotation through some angle.
Examples of stability studies on a finite time interval are given.
The video presentation: Part 1 Part 2
the Cauchy problem for the Navier-Stokes equations in R^3
prof. A. Shlapunov, prof. N. Tarkhanov
Abstract
tions over R3 х [0; T] with a positive time T over specially constructed scale of
function spaces of Bochner-Sobolev type. We prove that the problem induces an
open both injective and surjective mapping of each space of the scale. In particular,
intersection of these classes gives a uniqueness and existence theorem for smooth
solutions to the Navier-Stokes equations for smooth data with a prescribed asymp-
totic behaviour at the infinity with respect to the time and the space variables.
theorem, based on apriori estimates and operator approach in Banach spaces:
1. We prove that the Navier-Stokes equations induce continuous injective OPEN
mapping between the chosen Banach spaces.
2. Next, the standard topological arguments immediately imply that a nonempty
open connected set in a topological vector space coincides with the space itself if
and only if the set is closed. This reduces the proof of the existence theorem to an
Ls([0; T];Lr(R3)) a priori estimate for the INVERSE IMAGE OF PRECOMPACT
SETS in the target Banach space where s, r are Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin num-
bers satisfying 2=s + 3=r = 1 and r > 3. In this way we avoid proving a GLOBAL
Ls([0; T];Lr(R3)) a priori estimate.
3. To prove the weak Ls([0; T];Lr(R3)) a priori estimate with r > 3 we calculate
precisely the excess between the left hand side and the right hand side of the
corresponding energy inequality, that equals to 2r when expressed in terms of the
Lebesgue integrability index r. Then we operate with absolutely convergent series
involving Lebesgue norms that gives the possibility to group together summands
in a suitable way, using the energy type inequalities, interpolation inequalities and
matching the asymptotic behaviour in order to exclude the unbounded sequences
in the inverse image of a precompact set.
https://arxiv.org/abs/2009.10530
A similar approach can be used for investigation of the Navier-Stokes equations
in the periodic setting:
https://arxiv.org/abs/2007.14911
--------------------------------------------------------------------------------------
11 December 2020
Invariant finite-difference schemes for equations of continuous medium possessing finite-difference conservation laws
E. I. Kaptsov, V. A. Dorodnitsyn, S. V. Meleshko
Abstract
Methods of construction and analysis of finite-difference mathematical models based on symmetry are discussed. The group analysis methods allow one to construct invariant finite-difference schemes preserving the basic geometric and qualitative physical properties of the original continuous models.The authors propose a number of methods for constructing invariant schemes possessing conservation laws. Examples of invariant schemes for partial differential equations (PDEs) and ordinary differential equations (ODEs) are provided. Among the family of invariant schemes for ODEs, exact schemes are found, that is, schemes whose solutions coincide with the corresponding set of ODEs' solutions at the nodes of the finite-difference mesh of an arbitrary density.Invariant conservative schemes are constructed for various PDEs (wave equations, one-dimensional shallow water equations and Green-Naghdi equations). The constructed schemes possess difference analogues of the local conservation laws of the original differential models.
References
2. Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I., Shallow water equations in Lagrangian coordinates: Symmetries, conservation laws and its preservation in difference models, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 89 (2020) P. 105343
3. Cheviakov A. F., Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I., Invariant conservation law-preserving discretizations of linear and nonlinear wave equations, Journal of Mathematical Physics 61 (2020) P. 081504.
4. Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I., Meleshko S. V., Symmetries, conservation laws, invariant solutions and difference schemes of the one-dimensional Green-Naghdi equations, Journal of Nonlinear Mathematical Physics (2020), accepted.
5. Dorodnitsyn V. A., Kaptsov, E. I., Discretization of second-order ordinary differential equations with symmetries, 2013, Computational Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 53, No. 8, pp. 1153–1178.
Materials
The video presentation: Part 1 Part 2
проф. А. E. Миронов
Коммутирующие разностные операторы.
ABSTRACT
В докладе будет рассказано о задаче построения коммутативных колец разностных операторов. С помощью одноточечных коммутирующих разностных операторов ранга один будет построена дискретизация оператора Ламе
The video presentation
Интегрируемые магнитные геодезические потоки на двумерном торе и системы гидродинамического типа.
The video presentation: Part 1 Part 2
Iterations and groups of formal transformations
ABSTRACT
In this paper, we consider the problem of formal iteration. We construct an
area preserving mapping which does not have any square root. This leads to a
counterexample to Moser’s existence theorem for an interpolation problem. We give
examples of formal transformation groups such that the iteration problem has a
solution for every element of the groups.
---------------------------------------------------------------
Exact Solution of Boussinesq equations for propagation
PDF files: report.pdf journal-paper.pdf
GIF animations: 1.gif 2.gif 3.gif 4.gif 5.gif
Title: EXISTENCE THEOREMS FOR REGULAR SPATIALLY PERIODIC SOLUTIONS TO THE NAVIER-STOKES EQUATIONS IN R^3
Authors: Prof. A. Shlapunov, Prof. N. Tarkhanov
Abstract We consider the initial problem for the Navier-Stokes equations over R^3 × [0; T] with a positive time T in the spatially periodic setting. Identifying periodic vector-valued functions on R3 with functions on the 3 -dimensional torus T^3, we prove that the problem induces an open both injective and surjective mapping of specially constructed scale of function spaces of Bochner-Sobolev type
parametrised with the smoothness index s 2 N. The intersection of these classes
with respect s gives a uniqueness and existence theorem for smooth solutions to the
Navier-Stokes equations for each finite T > 0. Then additional intersection with
respect to T 2 (0; +1) leads to a uniqueness and existence theorem for smooth
solutions and data having prescribed asymptotic behaviour at the infinity with
respect to the time variable.
Actually, we propose the following modified scheme of the proof of the existence
theorem, based on apriori estimates and operator approach in Banach spaces:
1. We prove that the Navier-Stokes equations induce continuous injective OPEN
mapping between the chosen Banach spaces.
2. Next, the standard topological arguments immediately imply that a nonempty
open connected set in a topological vector space coincides with the space itself if
and only if the set is closed. This reduces the proof of the existence theorem to an
Ls([0; T]; Lr(R3)) a priori estimate for the INVERSE IMAGE OF PRECOMPACT
SETS in the target Banach space where s, r are Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin numbers satisfying 2=s + 3=r = 1 and r > 3. In this way we avoid proving a GLOBAL
Ls([0; T]; Lr(R3)) a priori estimate.
3. To prove the weak Ls([0; T]; Lr(T3)) a priori estimate with r > 3 we calculate
precisely the excess between the left hand side and the right hand side of the
corresponding energy inequality, that equals to 2r when expressed in terms of the
Lebesgue integrability index r. Then we operate with absolutely convergent series
involving Lebesgue norms that gives the possibility to group together summands
in a suitable way, using the energy type inequalities, interpolation inequalities and
matching the asymptotic behaviour in order to exclude the unbounded sequences
in the inverse image of a precompact set
The video presentation: Part 1 Part 2 Part 3
Bulgarian Academy of Sciences (BAS)
electronic address: dimitrov.bogdan.bogdan@gmail.com
Montevideo Blvd. 21, Sofia
electronic address: bogdan.dimitrov@iaps.institute
References
1. Bogdan G. Dimitrov, Two null gravitational cones in the theory of GPS-intersatellite communications between two moving satellites. I. Physical and mathematical theory of the space-time interval and the geodesic distance on intersecting null cones, (third) extended version of arxiv.org/abs/1712.01101v3 [gr-qc], 162 pages .
2. Bogdan G. Dimitrov, New Mathematical Models of GPS Intersatellite Communications in the Gravitational Field of the Near-Earth Space, AIP Confer. Proc. 2075, 040007 (2019); doi.org/10.1063/1.5091167 , 9 pages.
В этом докладе будет представлен теоретический подход для спутниковых коммуникаций между двумя спутниками (GPS, GLONASS), которые двигаются по эллиптических орбитах. Подход основан на введении двух нулевых конусов с вершинами в спутниках, посылающие и принимающие сигналы соответственно. Два нулевых конуса (пересекающихся также с гиперплоскостью) учитывают изменяющееся расстояние между спутниками. Пересечение двух нулевых конусов задает пространственно-временной интервал в ОТО. Применяя некоторые теоремы из высшей алгеброй, было показано, что пространственно-временной интервал может равняться нулю, следовательно он может быть также и отрицательным, и положительным. Но чтобы этот интервал представлял геодезическое расстояние, пространственно-временной интервал должен быть «согласованным» со Евклидовым расстоянием. Таким образом, это «условие согласованности», условно названное «условие для спутниковых коммуникаций», является наиболее важным следствием теории. Другое важное следствие: геодезическое расстояние оказывается пространственно-временным интервалом, но с учетом «условия для спутниковых коммуникаций». Таким образом, геодезическое расстояние оказывается большим, чем Евклидово расстояние – результат, которой основывается только на «подходе двух конусов» и более того, без использования формулы Шапиро для замедления сигнала. Применение этих же теорем из высшей алгеброй показывает, что геодезическое расстояние не имеет никаких нулей, в соответствии с тем, что оно больше евклидова расстояния. Теория также накладывает ограничение на угол эксцентричной аномалии E=45.00251 [deg], что удивительно близко к угловому расстоянию спутников в конфигурации ГЛОНАСС (российский аналог американского GPS) - 8 спутников в одной и той же плоскости с равным интервалом в 45 градусов. При некоторых конкретных ограничениях и для случая плоского движения спутников, аналитическая формула была получена для времени распространения сигнала, излучаемым движущимся по эллиптической орбите спутником. Формула может быть представлена в виде суммы эллиптических интегралов первого, второго и третьего рода.
report.pdf
The video presentation: Part 1 Part 2
The Geocentric Relativistic Reference System will be briefly reviewed, also the determination of the atomic clock times with respect to an attached to the Earth rotating coordinate system, which is important for taking into account the General Relativity Theory effects during the satellite motion in the near-Earth space.
REFERENCES
1. Neil Ashby, Relativistic effects in the Global Positioning System, in Gravitation and Relativity at the Turn of the Millenium, Proceedings of the 15th International Conference on General Relativity and Gravitation, edited by N.Dadhich and J. Narlikar (International University Centre for Astronomy and Astrophysics, 1998).
2. N. Ashby, Relativity in the Global Positioning System, Living Reviews in Relativity 6, 1-42 (2003), https://link.springer.com/content/pdf/10.12942%2Flrr-2003-1.pdf.
3. N. Ashby, and R. A. Nelson, in Relativity in Fundamental Astronomy: Dynamics, Reference Frames, and Data Analysis, Proceedings of the IAU Symposium 261 2009, edited by S. A. Klioner, P. K. Seidelmann, and M. H.Soffel (Cambridge University Press, Cambridge, 2010).
4. J. - F. Pascual Sanchez, Introducing Relativity in Global Navigation Satellite System, Ann. Phys. (Leipzig) 16, 258-273 (2007).
5. Michael H. Soffel, and Wen-Biao Han, Applied General Relativity. Theory and Applications in Astronomy, Celestial Mechanics and Metrology, Springer Nature, Switzerland AG 2019.
6. Michael H. Soffel, and R. Langhans, Space-Time Reference Systems (Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2013
7. Sergei M. Kopeikin, Michael Efroimsky, and George Kaplan, Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System (Wiley-VCH, New York, 2011).
8. L. Duchayne, Transfert de temps de haute performance: le Lien Micro-Onde de la mission ACES. Physique mathematique [math-ph]. PhD Thesis, Observatoire de Paris, 2008. Francais, HAL Id: tel-00349882, https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00349882/document.
9. M. Gulklett, Relativistic effects in GPS and LEO, October 8 2003, PhD Thesis, University of Copenhagen, Denmark, Department of Geophysics, The Niels Bohr Institute for Physics, Astronomy and Geophysics, available at https://www.yumpu.com/en/document/view/4706552/relativistic-e_ects-in-gps-and-leo-niels-bohr-institutet.
10. B. Hofmann-Wellenhof, and H. Moritz, Physical Geodesy (Springer-Verlag, Wien-New York, 2005).
11. Slava G. Turyshev, Viktor T. Toth, and Mikhail V. Sazhin, General relativistic observables of the GRAIL mission, Phys. Rev. D87, 024020 (2013), arXiv:1212.0232v4 [gr-qc].
12. Slava G. Turyshev, Mikhail V. Sazhin, and Viktor T. Toth, General relativistic laser interferometric observables of the GRACE-Follow-On mission, Phys. Rev. D89, 105029 (2014), arXiv: 1402.7111v1 [qr-qc].
13. Slava G. Turyshev, Nan Yu, and Viktor T. Toth, General relativistic observables for the ACES experiment, Phys. Rev. D93, 045027 (2016), arXiv: 1512.09019v2 [gr-qc].
14. R. A. Nelson, Relativistic time transfer in the vicinity of the Earth and in the Solar system, Metrologia 48, S171 (2011).
15. Bogdan G. Dimitrov, the (third) extended version of arXiv:1712.01101 [gr-qc] (contains a lot of references).
16. Bogdan G. Dimitrov, New Mathematical Models of GPS Intersatellite Communications in the Gravitational Field of the Near-Earth Space, AIP Confer. Proc. 2075, 040007 (2019); https://doi.org/10.1063/1.5091167.
http://iaps.institute/mathematical-physics/theory-of-gps/
The video presentation: Part 1 Part 2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
June 24 at 18:00 Krasnoyarsk(06:00 PM) or14:00 Moscow (02:00 PM)
Title: On self-similar solutions for some problems of free turbulence.
Author: Alexey V. Shmidt
Institute of Computational Modelling SB RAS, Krasnoyarsk, Russia
E-mail: schmidt@icm.krasn.ru
Annotation.
Three-dimensional far turbulent wake in a passive stratified medium, axisymmrtric submerged turbulent jet and far swirling turbulent wake are considered using RANS approach. We use methods of a group-theoretical analisys to reduce corresponding semi-emprirical models of turbulence to systems of ordinary differential equations (ODEs). Modified shooting method and asymptotic expansion are used to solve boundary-value problems for obtained systems of ODEs. The constructed solutions are in good agreement with experimental data. Moreover, a detailed comparison with numerical solutions obtained by G.G. Chernykh with co-authors on the basis of the full models of turbulence were conducted.
Kaptsov O.V., Shmidt A.V. A three-dimensional semi-empirical model of a far turbulent wake // J. Appl. Math. Mech., 2015, V. 79, № 5, P. 459-466
Shmidt A.V. Self-Similar solution of the problem of a turbulent flow in a round submerged jet // J. of Appl. Mech. and Tech. Phys., 2015, V. 56, № 3, P. 414-419
Shmidt A.V. Similarity in the far swirling momentumless turbulent wake // J. SFU. Math. & Phys., 2020, V. 13, № 1, P. 79-86
Аннотация.
На основе подхода RANS рассмотрены трехмерный дальний турбулентный след в пассивно-стратифицированной среде, осесимметричная затопленная турбулентная струя и дальний закрученный турбулентный след. С помощью методов теоретико-группового анализа соответствующие полуэмпирические модели турбулентности редуцируются к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Поставленные краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений решены с использованием модифицированного метода стрельбы и асимптотического разложения решения в окрестности особой точки. Построенные решения находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными. Кроме того, было проведено детальное сопоставление с численными решениями, полученными Г.Г. Черных с соавторами на основе полных моделей турбулентности.
Shmidtreport.pdf
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
The presentation file: presentation.pdf
The video presentation: presentation.mp4
https://www.researchgate.net/profile/Sergey_Tsarev/contributions
The video presentation: Part 1 Part 2 Part 3
Abstract: Unstationary and stationary two-dimensional flows of incompressible viscoelastic Maxwell medium with upper, low and corotational convective derivatives in the theological constitutive law are considered. A class of partially invariant solutions is analyzed. Using transition to Lagrangian coordinates, an exact solution of the problem of unsteady flow near free-stagnation point was constructed. For the model with Johnson-Segalman convected derivative and special linear dependence of the vertical component of velocity, the general solution was derived. Analysis of the analytical unstationary solution provides a new class of stationary solutions. The solutions found comprise both already known as well as substantially new solutions. Nonsingular solutions of the stress tensor at the critical point and bounded at infinity are constructed. Exact analytical formulae for the stress tensor with the Weissenberg number Wi=1/2 are obtained.
May 20, 2020
Comments
Post a Comment